Números racionais e irracionais: exemplos, diferenças e mais

Você já ouviu falar em números racionais e irracionais? Esse é um importante conteúdo de Matemática, que deve estar no radar dos alunos que vão prestar o Enem e os principais vestibulares do país.

Para facilitar o seu estudo, neste post, vamos reunir as principais informações que você precisa saber sobre esse tópico, como o conceito de números racionais e irracionais, exemplos, o contexto de uso e como eles costumam ser pedidos nas provas. A fonte das informações foi o professor Thiago Dutra, autor de Matemática do Sistema Anglo de Ensino e professor do Curso e Colégio Anglo São Paulo.

O que são números racionais

Segundo Thiago, a primeira ideia importante é entender o conceito de número racional. “Todo número racional é um número que pode ser escrito na forma de uma fração, considerando que fração é uma divisão entre dois números inteiros, sendo que o denominador, que é a parte de baixo da fração, nunca pode ser zero.”

Assim, um número vai ser racional se ele puder ser escrito como uma divisão (uma razão) de dois números inteiros.

“Repare que, a partir dessa definição, todo número inteiro é um tipo de número racional, porque se eu dividir ele por um, vai dar sempre um número inteiro. As frações que conhecemos, por exemplo, meio, três quintos, dois quartos, são exemplos de números racionais, porque são divisões entre dois números inteiros”, explica.

Representação dos números racionais

O professor diz que é interessante observar que os números racionais podem ser representados como frações (por exemplo, 1/2 e 3/4) ou na forma decimal (0,5 e 0,75, que correspondem, respectivamente, a 1/2 e 3/4). Isso porque se transformarmos essa representação decimal em fração, vamos cair na definição de número racional. “Assim, os números racionais podem ser representados por frações, mesmo que estejam escritos na forma de números decimais”, reforça.

No entanto, se ele estiver escrito na forma de número decimal, ele só vai ser um número racional se for:

um número decimal finito, ou seja, se essa representação decimal acabar depois de um certo algarismo -– por exemplo, 0,75; 0,43; 2,89; e 3,741.
uma dízima periódica, que são números decimais infinitos, mas que têm um certo padrão, por exemplo, 0,333333333. As dízimas periódicas também podem ser escritas como frações -– 0,3333333… (infinitamente) é exatamente a fração 1/3.

Exemplos de números racionais

Portanto, como vimos, alguns exemplos de números racionais são:

os números inteiros, como 4, 7, – 1 etc
as frações, como 3/5, 4/2, 7/9, etc
os números decimais finitos, como 14,9436
as dízimas periódicas, como 0,6868686868…

O que são números irracionais

Os números que não podem ser escritos na forma de fração, como uma divisão de números inteiros, são chamados de números irracionais. “Eles têm uma representação decimal infinita, mas ela não é periódica, ou seja, ela não tem nenhum padrão de repetição ao longo da representação”, aponta Thiago.

Exemplos de números irracionais

Exemplos clássicos de números irracionais são:

3,14159…, que é justamente associado à circunferência em geometria;
1,4142…, que está associado à diagonal de um quadrado em geometria.

Os números irracionais, por não terem uma representação decimal finita nem exata, são representados por algum tipo de símbolo. O número 3,14159… é representado por pi (π). Já o número 1,4142… é representado pela raiz quadrada de 2 = √2

Qual a diferença entre um número racional e um número irracional?

A principal diferença entre eles é que um número racional é resultado da divisão de dois números inteiros e, portanto, pode ser escrito na forma de uma fração. Já o número irracional não pode ser escrito na forma de fração, por não ser resultado da divisão de dois números inteiros.

Como saber se um número é racional?

Para saber se um certo número é racional, é preciso verificar se existe uma divisão de números inteiros que dá origem a ele, ou seja, se ele é resultado da divisão de dois números inteiros. Se ele for, ele é um número racional. Caso contrário, ele vai ser um número irracional.

Contextos em que os números racionais e irracionais são usados

Thiago diz que os números racionais e irracionais aparecem em diversos contextos. Os números irracionais, por exemplo, são comuns em geometria, como o pi, que está relacionado ao comprimento de uma circunferência, à área de um círculo e ao volume de uma esfera, por exemplo. A raiz quadrada de dois também aparece em geometria, ligado à diagonal de um quadrado.

Além da geometria, podem ser aplicados em funções trigonométricas — calcular o seno de 1 grau, por exemplo, é um número irracional – e em contextos logarítmicos que envolvem problemas exponenciais e probabilidade.

O professor lembra que as pessoas têm uma dificuldade maior em lidar com os números irracionais, pois eles têm uma representação decimal que é infinita e não se repete. “Muitos trabalham com aproximações desses números, como o pi sendo 3,14 , e a raiz quadrada de 2 sendo aproximadamente 1,4. Como eles não têm uma representação finita, não é possível trabalhar com valor exato dessas quantidades”.

Como os números racionais e irracionais se aplicam ao cotidiano?

De acordo com Thiago, há diversas aplicações relacionadas aos modelos matemáticos que dão origem ou estão associados aos números racionais e irracionais. “Na engenharia, é comum o uso dessas figuras no planejamento das edificações. Então, muitas vezes, os engenheiro lidam com esses números para estimar quantidades, áreas e volumes”, exemplifica.

Outro exemplo curioso é número log de 2. Ele conta que tem uma questão bastante interessante associada a descobrir qual é a frequência esperada de números em um determinado banco de dados, cujo primeiro algarismo, por exemplo, começa com o número 1. “O log de 2, aproximadamente 0,3 ou 0,30, indica que se eu pegar um conjunto de dados numéricos aleatórios, 30% desses números começariam com o dígito 1”, detalha. A aplicação prática disso é identificar fraudes em dados contábeis, por exemplo. “Em fraudes envolvendo notas fiscais, se elas fogem dessa relação logarítmica das quantidades ou frequências esperadas para os dígitos, isso pode ser um indício forte de irregularidade nesse conjunto de dados.”

Como números racionais e irracionais costumam ser pedidos em provas e vestibulares?

Em provas e vestibulares, é comum haver questões que solicitam cálculos envolvendo números irracionais. Por exemplo, em questões de geometria em que o aluno tem que saber lidar com os valores de raiz quadrada de 2 e com o número pi, nem que seja por aproximação.

“Outro ponto bastante presente nos vestibulares tem a ver com um processo chamado de racionalização de denominadores. Você pode tornar alguns denominadores de frações, que são números irracionais, em números racionais por meio de multiplicações convenientes”, acrescenta Thiago.

Os números racionais, por sua vez, aparecem em frações e porcentagens. “Em geral, trabalhar com números racionais e irracionais no vestibular surge na parte operacional de alguma questão. Às vezes, a questão traz algum contexto relativo a funções, matrizes, logaritmos, polinômios e geometria, e o cálculo envolve números racionais e irracionais”, finaliza o professor.

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